Để tìm giao tuyến của (DMN) và (ABD), ta cần tìm điểm giao của hai đường thẳng này.

a) (ABD): Đường thẳng AB và BD là hai cạnh của tứ diện ABCD, vì vậy (ABD) là mặt phẳng chứa AB và BD. Điểm M là trung điểm của AB, nên (DMN) cũng chứa đoạn thẳng DM và MN. Điểm D nằm trên đường thẳng BD, nên (DMN) cũng chứa đoạn thẳng DN. Vậy (DMN) và (ABD) có điểm chung là đoạn thẳng DN.

b) (ABC): Đường thẳng AB và AC là hai cạnh của tứ diện ABCD, vì vậy (ABC) là mặt phẳng chứa AB và AC. Điểm M là trung điểm của AB, nên (DMN) cũng chứa đoạn thẳng DM và MN. Điểm N là trung điểm của AC, nên (DMN) cũng chứa đoạn thẳng DN. Vậy (DMN) và (ABC) có điểm chung là đoạn thẳng DN.

c) (BCD): Đường thẳng BC và BD là hai cạnh của tứ diện ABCD, vì vậy (BCD) là mặt phẳng chứa BC và BD. Điểm N là trung điểm của AC, nên (DMN) cũng chứa đoạn thẳng DN và MN. Điểm D nằm trên đường thẳng BD, nên (DMN) cũng chứa đoạn thẳng DM. Vậy (DMN) và (BCD) có điểm chung là đoạn thẳng DM.

Tóm lại, giao tuyến của (DMN) và:
a) (ABD) là đoạn thẳng DN.
b) (ABC) là đoạn thẳng DN.
c) (BCD) là đoạn thẳng DM.