Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng định lý tam giác của Euclid.

Giả sử a, b, c lập thành một tam giác ABC. Ta cần chứng minh rằng căn a, căn b, căn c cũng lập thành một tam giác.

Theo định lý tam giác của Euclid, ta có:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Ta sẽ chứng minh rằng:

căn a + căn b > căn c
căn b + căn c > căn a
căn c + căn a > căn b

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác có cạnh a, b, căn a, ta có:

a + căn a > căn b
b + căn a > căn a

Tương tự, áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác có cạnh b, c, căn b, ta có:

b + căn b > căn c
c + căn b > căn b

Cuối cùng, áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác có cạnh c, a, căn c, ta có:

c + căn c > căn a
a + căn c > căn c

Từ các bất đẳng thức trên, ta có:

căn a + căn b > căn c
căn b + căn c > căn a
căn c + căn a > căn b

Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài căn a, căn b, căn c cũng lập được thành một tam giác.