Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x^2 - x - 1, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương hoặc sử dụng đạo hàm.

1. Sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương:
Ta có thể viết lại hàm số f(x) thành f(x) = (x - 1/2)^2 - 1 - 1/4 = (x - 1/2)^2 - 5/4.
Vì (x - 1/2)^2 luôn không âm, nên giá trị lớn nhất của f(x) là khi (x - 1/2)^2 đạt giá trị lớn nhất, tức là bằng 0.
Do đó, giá trị lớn nhất của f(x) là -5/4 khi x = 1/2.

2. Sử dụng đạo hàm:
Ta tính đạo hàm của hàm số f(x): f'(x) = 2x - 1.
Để tìm giá trị lớn nhất của f(x), ta giải phương trình f'(x) = 0:
2x - 1 = 0
x = 1/2.
Ta thấy rằng f''(x) = 2 > 0, vậy x = 1/2 là điểm cực tiểu của f(x).
Do đó, giá trị lớn nhất của f(x) là f(1/2) = (1/2)^2 - 1/2 - 1 = -5/4.

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x^2 - x - 1 là -5/4 khi x = 1/2.