Chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Giả sử a, b, c là các số thực dương tùy ý. Ta có:

(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) = (a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1)(c^2 + 1)
≥ (2ab + a^2 + b^2 + 1)(c^2 + 1) (bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki)

= 2abc^2 + ab^2 + a^2c^2 + a^2 + b^2c^2 + b^2 + c^2 + 1

= ab(c^2 + 1) + a^2(c^2 + 1) + b^2(c^2 + 1) + (c^2 + 1)

= ab(c^2 + 1) + a^2(c^2 + 1) + b^2(c^2 + 1) + (c^2 + 1)

= (ab + a^2 + b^2 + c^2 + 1)(c^2 + 1)

= (ab + bc + ca + c^2 + 1)(c^2 + 1)

= (ab + bc + ca - 1 + 2c^2)(c^2 + 1)

= (ab + bc + ca - 1)^2 + 2c^2(ab + bc + ca - 1) + 2c^4 + 2c^2

Vì a, b, c là các số thực dương tùy ý, nên c^2 > 0 và 2c^2 > 0. Do đó:

2c^2(ab + bc + ca - 1) + 2c^4 + 2c^2 > 0

Vậy ta có:

(ab + bc + ca - 1)^2 ≤ (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1)

Bất đẳng thức đã được chứng minh.