a) Để tính số đo góc ACB, ta sử dụng tính chất của tam giác vuông. Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:

AC^2 = AH^2 + CH^2

Vì H là trung điểm của AC, nên AH = HC. Thay vào công thức trên, ta có:

AC^2 = AH^2 + AH^2

AC^2 = 2AH^2

Do đó, AH = AC/√2.

Vì O là trung điểm của AB, nên AO = OB = R. Ta có:

OH^2 = AO^2 + AH^2

OH^2 = R^2 + (AC/√2)^2

OH^2 = R^2 + AC^2/2

OH^2 = R^2 + (2R)^2/2 (vì AH = AC/√2 = 2R/√2 = 2R√2/2 = R√2)

OH^2 = R^2 + 2R^2/2

OH^2 = R^2 + R^2

OH^2 = 2R^2

Vì AH = HC, nên tam giác AHC là tam giác cân tại H. Do đó, góc AHC bằng góc ACB/2. Ta có:

cos(AHC) = AH/AC

cos(AHC) = (AC/√2)/AC

cos(AHC) = 1/√2

Gọi x là số đo góc ACB. Ta có:

cos(x/2) = 1/√2

x/2 = π/4

x = π/2

Vậy, số đo góc ACB là π/2.

Để chứng minh OH//BC, ta sử dụng tính chất của tam giác vuông. Vì OH là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:

OH^2 = AO^2 + AH^2

OH^2 = R^2 + (AC/√2)^2

OH^2 = R^2 + AC^2/2

OH^2 = R^2 + (2R)^2/2

OH^2 = R^2 + 2R^2/2

OH^2 = R^2 + R^2

OH^2 = 2R^2

Vì BC là đường kính của đường tròn (O), nên BC = 2R. Ta có:

BC^2 = (2R)^2

BC^2 = 4R^2

Vì OH^2 = 2R^2 và BC^2 = 4R^2, nên OH = BC.

Do đó, OH//BC.

b) Ta có AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A, nên góc OAM = 90°. Vì OH//BC, nên góc OHM = góc OBC = 90°.

Vì góc OAM = góc OHM = 90°, nên tứ giác OAHM là hình chữ nhật.

Do đó, OH = AM.

Vậy, đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A.