Chứng minh rằng: n^2 − 1 chia hết cho 8 với mọi số nguyên lẻ n

Để chứng minh rằng n^2 - 1 chia hết cho 8 với mọi số nguyên lẻ n, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Kiểm tra với n = 1.
Khi n = 1, ta có: 1^2 - 1 = 0. 0 chia hết cho 8, vì vậy đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là k^2 - 1 chia hết cho 8.
Ta cần chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 2, tức là (k + 2)^2 - 1 chia hết cho 8.

(k + 2)^2 - 1 = k^2 + 4k + 4 - 1 = k^2 + 4k + 3

Ta biết rằng k^2 - 1 chia hết cho 8, vì vậy tồn tại số nguyên m sao cho k^2 - 1 = 8m. (1)

(k + 2)^2 - 1 = k^2 + 4k + 3 = (k^2 - 1) + 4k + 4 = 8m + 4k + 4

Ta thấy rằng 4k + 4 chia hết cho 8, vì vậy tồn tại số nguyên p sao cho 4k + 4 = 8p. (2)

Thay (1) và (2) vào biểu thức trên, ta có:

(k + 2)^2 - 1 = 8m + 4k + 4 = 8m + 8p = 8(m + p)

Vì m + p cũng là một số nguyên, nên ta kết luận rằng (k + 2)^2 - 1 chia hết cho 8.

Bước 3: Kết luận
Vì đẳng thức đúng với n = 1 và đẳng thức đúng với n = k + 2 khi đã đúng với n = k, nên theo nguyên lý quy nạp, ta có thể kết luận rằng n^2 - 1 chia hết cho 8 với mọi số nguyên lẻ n.