Chứng minh:

Xét tam giác ADM, ta có:

DM = AD - AM

Và AM là đường trung tuyến của tam giác ADC nên:

DM = AD/2

Tương tự, ta có:

CN = CF/2

Suy ra:

CM = AD - AM = AD/2 - CF/2 = (AD - CF)/2

Từ đó, ta có:

CM/BG.CD = (AD - CF)/2 / BG.CD

Xét tam giác BHG, ta có:

HG = BC - BG

Tương tự, ta có:

HG = BC - CF

Suy ra:

BG.CD = (BC - BG)(BC - CF) = BC^2 - BG^2 - BC^2 + CF^2 = BC^2 - BG^2 - CF^2

Từ đó, ta có:

CM/BG.CD = (AD - CF)/2 / (BC^2 - BG^2 - CF^2)

Xét tam giác BGC, ta có:

CG = BC - GC

Tương tự, ta có:

CG = BC - BD

Suy ra:

CG.BD = (BC - BD)(BC - GC) = BC^2 - BD^2 - BC^2 + GC^2 = BC^2 - BD^2 - GC^2

Từ đó, ta có:

(AD - CF)/2 / (BC^2 - BG^2 - CF^2) = (BC^2 - BD^2 - GC^2) / (BC^2 - BG^2 - CF^2)

Do đó:

CM/BG.CD = CG.BD

Kết luận:

CM: BG.CD = CG.BD

Giải thích thêm:

Ta có thể chứng minh bằng cách vẽ hình và sử dụng các tính chất của tam giác vuông.

Từ hình vẽ, ta có:

• CM = AD - AM = AD/2 - CF/2
• BG.CD = (BC - BG)(BC - CF) = BC^2 - BG^2 - BC^2 + CF^2 = BC^2 - BG^2 - CF^2
• CG.BD = (BC - BD)(BC - GC) = BC^2 - BD^2 - BC^2 + GC^2 = BC^2 - BD^2 - GC^2

Do đó:

CM/BG.CD = (AD/2 - CF/2) / (BC^2 - BG^2 - CF^2) = (BC^2 - BD^2 - GC^2) / (BC^2 - BG^2 - CF^2)

Kết luận:

CM/BG.CD = CG.BD