Cho f(x) là đa thức bâc lớn hơn bậc 1 có các hệ số nguyên, m và n là 2 số tự nhiên nguyên tố cùng nhau

Giả sử f(m+n) chia hết mn. Ta có thể viết f(x) dưới dạng:

f(x) = aₙ₊₁xⁿ⁺¹ + aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀

Với aₙ₊₁, aₙ, ..., a₁, a₀ là các hệ số nguyên.

Để chứng minh f(m) chia hết n, ta chứng minh rằng f(m) ≡ 0 (mod n). Ta có:

f(m) ≡ aₙ₊₁mⁿ⁺¹ + aₙmⁿ + ... + a₁m + a₀ (mod n)

Vì m ≡ 0 (mod n) (do m và n là hai số nguyên tố cùng nhau), ta có:

f(m) ≡ a₀ (mod n)

Vì a₀ là một số nguyên, nên f(m) chia hết n.

Tương tự, để chứng minh f(n) chia hết m, ta chứng minh rằng f(n) ≡ 0 (mod m). Ta có:

f(n) ≡ aₙ₊₁nⁿ⁺¹ + aₙnⁿ + ... + a₁n + a₀ (mod m)

Vì n ≡ 0 (mod m) (do m và n là hai số nguyên tố cùng nhau), ta có:

f(n) ≡ a₀ (mod m)

Vì a₀ là một số nguyên, nên f(n) chia hết m.

Để chứng minh ngược lại, giả sử f(m) chia hết n và f(n) chia hết m. Ta cần chứng minh rằng f(m+n) chia hết mn.

Vì f(m) chia hết n, ta có:

f(m) ≡ 0 (mod n)

Tương tự, vì f(n) chia hết m, ta có:

f(n) ≡ 0 (mod m)

Từ đó, ta có:

f(m+n) ≡ f(m) + f(n) ≡ 0 + 0 ≡ 0 (mod n)

f(m+n) ≡ f(m) + f(n) ≡ 0 + 0 ≡ 0 (mod m)

Vì m và n là hai số nguyên tố cùng nhau, nên mn là bội chung nhỏ nhất của m và n. Do đó, f(m+n) chia hết mn.

Vậy, ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.