Xét Δ∆ADC và Δ∆BCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

∠∠(ADC) = ∠∠(BCD) (gt)

DC chung

Do đó: Δ∆ADC = Δ∆BCD (c.g.c) ⇒ ∠C1∠D1

Trong Δ∆OCD ta có: ∠C1∠D1⇒ Δ∆OCD cân tại O ⇒ OC = OD (1)

AC = BD (tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.

Xét Δ∆ADC và Δ∆BCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

∠∠(ADC) = ∠∠(BCD) (gt)

DC chung

Do đó: Δ∆ADC = Δ∆BCD (c.g.c) ⇒ ∠C1= ∠D1

Trong Δ∆OCD ta có: ∠C1∠= ∠D1 ⇒ Δ∆OCD cân tại O ⇒ OC = OD (1)

AC = BD (tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.
 

Ta có: ∠∠(ADC) = ∠∠(BCD) (gt)

⇒ ∠∠(ODC) = ∠∠(OCD)

⇒Δ∆OCD cân tại O

⇒ OC = OD

OB + BC = OA + AD

Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ OA = OB

Xét Δ∆ADC và Δ∆BCD:

AD = BC (tính chất hình thang cân )

AC = BD (tính chất hình thang cân)

CD chung

Do đó Δ∆ADC và Δ∆BCD (c.c.c)

⇒ ∠D1= ∠C1

⇒Δ∆EDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

Ta có: BD= AC (tính chất hình thang cân)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

OA = OB (chứng minh trên ) nên O thuộc đường trung trực của AB

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.