a) Để chứng minh tam giác ABC vuông, ta sử dụng định lí Pythagoras:
Theo định lí Pythagoras, trong một tam giác vuông, cạnh huyền bằng căn bậc hai của tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Áp dụng vào tam giác ABC, ta có:
AB^2 + AC^2 = 4,5^2 + 6^2 = 20,25 + 36 = 56,25
BC^2 = 7,5^2 = 56,25
Vậy AB^2 + AC^2 = BC^2, nên theo định lí Pythagoras, tam giác ABC là tam giác vuông tại góc A.

b) Để tính diện tích tam giác AMDN, ta cần biết độ dài đoạn thẳng DM và DN.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên BC.
Ta có:
AH = AD * cos(A) = AD * (AC / BC) = AD * (6 / 7,5) = 0,8 * AD
BH = BC - CH = 7,5 - (AD * sin(A)) = 7,5 - (AD * (AB / BC)) = 7,5 - (AD * (4,5 / 7,5)) = 7,5 - 0,6 * AD
Vì M là hình chiếu vuông góc của D lên AB, nên AM = AB - AH = 4,5 - 0,8 * AD
Vì N là hình chiếu vuông góc của D lên AC, nên AN = AC - AH = 6 - 0,8 * AD
Vậy diện tích tam giác AMDN là:
S = (1/2) * AM * AN = (1/2) * (4,5 - 0,8 * AD) * (6 - 0,8 * AD) = 13,5 - 3,6 * AD + 0,32 * AD^2

Để tính diện tích tam giác AMDN, ta cần biết giá trị của AD.