a, Xét tứ giác ADHE có 3 góc vuông (ˆA, ˆD, ˆE)

⇒ ADHE là hình chữ nhật mà AH, DE là 2 đường chéo

⇒ AH = DE (đpcm)

b, HD ⊥ AB và AC ⊥ AB ⇒ HD ║ AC 

⇒ ^PHD = ^HCA (đồng vị) 

ΔDBH vuông tại D có DP là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ DP = PH ⇒ ΔDPH cân tại P

⇒ ^PHD = ^PDH

ADHE là hình chữ nhật ⇒ ^ADE = ^AHE

mà ^AHE = ^HCA (cùng phụ với ^HAE)

⇒ ^ADE = ^HCA = ^PHD = ^PDH

Ta có: ^ADE + ^EDH = 90o

⇒ ^PDH + ^EDH = 90o

⇒ ^PDE = 90o ⇒ DP ⊥ DE

Chứng minh tương tự ta có EQ ⊥ DE

⇒ Tứ giác DEQP là hình thang vuông tại D và E (đpcm)

c, Xét ΔHAC có O là trung điểm của HA, Q là trung điểm của HC

⇒ OQ là đường trung bình ⇒ OQ ║ AC ⇒ OQ ⊥ AB

Xét ΔABQ có QO, AH là 2 đường cao cắt nhau tại O

⇒ O là trực tâm ΔABQ (đpcm)

d, Ta có:

SABC = 12.AH.BC = PQ.AH (1)

SDEQP = 12.(DP + EQ).DE = 12.(DP + EQ).AH = 12.(HP + HQ)AH = 12.PQ.AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SABC = 2.SDEQP (đpcm)