Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M là điểm chính giữa cung BAC của (O)

Ta có tam giác ABC nội tiếp (O), M là điểm chính giữa cung BAC của (O). Gọi I là trung điểm của cung BC không chứa A.

Vì M là trung điểm của cung BAC nên AM song song với đường tròn (O). Do đó, góc EAF = góc BAC = góc BIC.

Gọi G là giao điểm của đường thẳng AI và đường tròn (O). Ta có AG là đường phân giác của góc BAC.

Vì AM song song với đường tròn (O) nên góc GAF = góc BAC = góc BIC.

Do đó, tam giác GAF và tam giác BIC có hai góc bằng nhau nên chúng đồng dạng.

Từ đó, ta có:

AG/BI = AF/BC (theo định lý đồng dạng tam giác)

AG/AF = BI/BC

Vì AG là đường phân giác của góc BAC nên AG/AF = BG/CF (theo định lý đồng dạng tam giác).

Do đó, BG/CF = BI/BC.

Từ đó, ta có:

BG/BI = CF/BC

Vì BG + BI = BC nên CF + BC = BC.

Từ đó, ta có CF = BG.

Vậy CE = BF.