Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M là điểm chính giữa cung BAC của (O). Một đường tròn bất kì qua A và M cắt AC, AB lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng CE = BF

Ta có tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), do đó góc BAC là góc nhọn.

Gọi I là trung điểm của cung BC không chứa A. Khi đó, ta có IM song song với đường tròn (O) (do M là trung điểm của cung BAC).

Gọi G là giao điểm của đường tròn (O) và đường tròn (AMEF) (khác A). Ta có:

Góc GAF = Góc GEF (cùng chắn cung GM trên đường tròn (AMEF))
Góc GAF = Góc GCF (cùng chắn cung GA trên đường tròn (O))
Góc GEF = Góc GCF (do IM song song với đường tròn (O))

Do đó, ta có Góc GAF = Góc GEF = Góc GCF.

Từ đó, ta có tam giác GAF đồng dạng với tam giác GCF (theo góc).

Vậy, ta có:

CE/CF = GA/GF (theo định lí đồng dạng)
CE/CF = GA/GF = GM/GF (do M là trung điểm của cung BAC)
CE/CF = GM/GF = 1/2 (do M là trung điểm của cung BAC)

Từ đó, ta có CE = CF.

Vậy, ta đã chứng minh được CE = BF.