Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thang và sử dụng các định lí trong hình học.

1) Ta có đáy lớn AB và đáy nhỏ CD của hình thang ABCD có tỉ lệ 2:1. Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB. Do đó, ta có AM = MB = MC. Vậy tứ giác AMCD là hình bình hành.

2) Ta có tứ giác AMCD là hình bình hành, nên góc DMA = góc ECD (cùng là góc tại D). Ta cũng có góc MDA = góc CDE (cùng là góc tại E). Vì vậy, ta có góc DMA = góc ECD.

Ta cũng có AM = MC (vì tứ giác AMCD là hình bình hành), nên tam giác AMD và MCE là tam giác cân tại M. Do đó, ta có AD = DM và EC = MC. Vì E là giao điểm của AD và BC, nên ta có AD = ED.

3) Ta cần chứng minh C là trung điểm của đoạn BE.

Gọi F là trung điểm của đoạn BE. Ta cần chứng minh C = F.

Vì M là trung điểm của AB, nên ta có MF || AD (vì MF là đường trung bình của tam giác ABD). Ta cũng có MF = 1/2 AD (vì M là trung điểm của AB). Vậy ta có MF = 1/2 AD.

Vì tứ giác AMCD là hình bình hành, nên ta có MC || AD. Do đó, ta có góc MCF = góc CDA (cùng là góc tại C).

Vì góc DMA = góc ECD (đã chứng minh ở câu 2), nên ta có góc CDA = góc ECD.

Vậy ta có góc MCF = góc ECD.

Vì MF = 1/2 AD và góc MCF = góc ECD, nên tam giác MCF và ECD là tam giác đồng dạng (theo định lí góc và cạnh đồng dạng).

Do đó, ta có MC/EC = MF/CD.

Vì MC = EC (vì tứ giác AMCD là hình bình hành), nên ta có 1 = MF/CD.

Vậy ta có MF = CD.

Vì F là trung điểm của BE, nên ta có MF = CF.

Vậy ta có CF = CD.

Vì CD = 2 CF, nên ta có CF = CD/2.

Vậy ta có CF = 1/2 CD.

Vậy ta có C = F.

Vậy C là trung điểm của đoạn BE.