Để chứng minh rằng biểu thức 3^(n+3) + 3^(n+1) + 2^(n+2) + 2^(n+1) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng tổng các số mũ của 3 và 2 trong biểu thức đó chia hết cho 1 và 2.

Ta có:
3^(n+3) + 3^(n+1) + 2^(n+2) + 2^(n+1) = 3^n * 3^3 + 3^n * 3^1 + 2^n * 2^2 + 2^n * 2^1
= 3^n * (3^3 + 3^1) + 2^n * (2^2 + 2^1)
= 3^n * (27 + 3) + 2^n * (4 + 2)
= 3^n * 30 + 2^n * 6

Ta thấy rằng 30 chia hết cho 6 và 6 cũng chia hết cho 6. Do đó, ta có thể viết lại biểu thức trên thành:
3^n * 30 + 2^n * 6 = 6 * (3^n * 5 + 2^n)

Vì 6 chia hết cho 6, nên ta chỉ cần chứng minh rằng 3^n * 5 + 2^n chia hết cho 1.

Ta biết rằng 3^n chia hết cho 1 vì mọi số mũ của 3 đều chia hết cho 1. Tương tự, 2^n cũng chia hết cho 1 vì mọi số mũ của 2 đều chia hết cho 1. Do đó, tổng 3^n * 5 + 2^n cũng chia hết cho 1.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng biểu thức 3^(n+3) + 3^(n+1) + 2^(n+2) + 2^(n+1) chia hết cho 6.