Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của tam giác và đường thẳng.

1. Chứng minh AD = EF:
Ta có DF//AC và DE//AB, suy ra tam giác ADF và tam giác ADE là tam giác đồng dạng.
Do đó, ta có:
AD/AF = AE/AD (vì tam giác ADF và tam giác ADE đồng dạng)
=> AD^2 = AF.AE
Tương tự, ta có:
AE/AE = AD/AD (vì tam giác ADF và tam giác ADE đồng dạng)
=> AE^2 = AF.AD
Từ hai biểu thức trên, ta có:
AD^2 = AE^2
=> AD = AE
=> AD = EF

2. Chứng minh AC là tia phân giác của góc MAD:
Gọi G là giao điểm của AC và MN (trong đó M là điểm đối xứng của N qua A).
Ta cần chứng minh AG là tia phân giác của góc MAD, tức là MA/AD = GA/GD.
Vì M là điểm đối xứng của N qua A, nên AM = AN và AD = DN.
Do đó, ta có:
MA/AD = MA/DN
GA/GD = GA/DN
Vậy, để chứng minh AC là tia phân giác của góc MAD, ta cần chứng minh MA/DN = GA/DN.
Điều này tương đương với MA = GA.
Ta thấy tam giác MAF và tam giác GAD là tam giác đồng dạng (cùng có góc vuông và góc A).
Do đó, ta có:
MA/AD = GA/GD
=> MA = GA
Vậy, AC là tia phân giác của góc MAD.

3. Chứng minh M đối xứng với N qua A:
Gọi L là giao điểm của AC và MN.
Ta cần chứng minh M là điểm đối xứng của N qua A, tức là AM = AN.
Vì M là điểm đối xứng của N qua A, nên AM = AN.
Vậy, M đối xứng với N qua A.