Để chứng minh MN = PQ, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành.

Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB. Tương tự, ta có CN = ND, DP = PC và AQ = QD.

Ta có:
MN = AM + CN
PQ = DP + AQ

Vì AM = MB, CN = ND, DP = PC và AQ = QD, nên ta có:
MN = AB + CD
PQ = AD + BC

Vì ABCD là hình bình hành, nên AB = CD và AD = BC. Do đó, ta có:
MN = AB + CD = AD + BC = PQ

Vậy ta đã chứng minh được MN = PQ.

Để chứng minh MNPQ là hình bình hành, ta cần chứng minh các cạnh của MNPQ là song song và có độ dài bằng nhau.

Ta có:
MN = AB + CD
PQ = AD + BC

Vì ABCD là hình bình hành, nên AB || CD và AD || BC. Do đó, ta có MN || PQ.

Vì MN = PQ (đã chứng minh ở câu a), nên ta có MNQP là hình bình hành.

Vậy ta đã chứng minh được MNPQ là hình bình hành.

Đáp án: a) MN = PQ; b) MNPQ là hình bình hành.