a. Rút gọn P:
Để rút gọn P, ta cần tìm một cách biểu diễn khác của P sao cho nó đơn giản hơn. Ta có thể sử dụng phép nhân đều 2 phía để loại bỏ các phân số trong biểu thức.

P = (a^2/a+2) + (a^2+a/a^2+3a+2) . 4-a^2/a
= (a^2/a+2) + (a^2+a/a^2+3a+2) . (4-a^2)/a
= (a^2 + (a^2+a)(4-a^2))/(a+2)(a^2+3a+2)
= (a^2 + 4a - a^4 + 4a^2 - a^4)/(a+2)(a^2+3a+2)
= (5a^2 + 4a - 2a^4)/(a+2)(a^2+3a+2)

Vậy, biểu diễn rút gọn của P là (5a^2 + 4a - 2a^4)/(a+2)(a^2+3a+2).

b. Tìm giá trị lớn nhất của P:
Để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm điểm cực đại của hàm số P. Để làm điều này, ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực đại.

Đạo hàm của P theo a là:
P' = [(10a + 4) * (a+2)(a^2+3a+2) - (5a^2 + 4a - 2a^4) * (3a^2 + 8a + 5)] / (a+2)^2(a^2+3a+2)^2

Để tìm điểm cực đại, ta giải phương trình P' = 0:
[(10a + 4) * (a+2)(a^2+3a+2) - (5a^2 + 4a - 2a^4) * (3a^2 + 8a + 5)] / (a+2)^2(a^2+3a+2)^2 = 0

Sau khi giải phương trình này, ta có thể tìm được giá trị của a tương ứng với điểm cực đại của P. Sau đó, ta thay giá trị a này vào biểu thức rút gọn của P để tính giá trị lớn nhất của P.