Cho a+n^3-n(với n thuộc n*). Chứng minh rằng a luôn chia hết cho 6 với mọi n thuộc n*

Để chứng minh rằng a luôn chia hết cho 6 với mọi n thuộc N*, ta sẽ chứng minh rằng a luôn chia hết cho 2 và 3.

1. a chia hết cho 2:
Ta có thể viết lại a = n^3 - n = n(n^2 - 1).
Với mọi số nguyên n, ta có hai trường hợp:
- Nếu n chẵn, thì n = 2k (với k thuộc N*), và ta có a = 2k(4k^2 - 1), vì k là số nguyên nên a chia hết cho 2.
- Nếu n lẻ, thì n = 2k + 1 (với k thuộc N*), và ta có a = (2k + 1)((2k + 1)^2 - 1) = (2k + 1)(4k^2 + 4k) = 2(2k + 1)(2k^2 + 2k), vì k là số nguyên nên a chia hết cho 2.

2. a chia hết cho 3:
Ta có thể viết lại a = n^3 - n = n(n^2 - 1).
Với mọi số nguyên n, ta có hai trường hợp:
- Nếu n chia hết cho 3, tức là n = 3k (với k thuộc N*), và ta có a = 3k(9k^2 - 1), vì k là số nguyên nên a chia hết cho 3.
- Nếu n không chia hết cho 3, tức là n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (với k thuộc N*), và ta có a = (3k + 1)((3k + 1)^2 - 1) = (3k + 1)(9k^2 + 6k) = 3(3k + 1)(3k^2 + 2k), hoặc a = (3k + 2)((3k + 2)^2 - 1) = (3k + 2)(9k^2 + 12k + 3) = 3(3k + 2)(3k^2 + 4k + 1), vì k là số nguyên nên a chia hết cho 3.

Vậy, a luôn chia hết cho cả 2 và 3, nên a cũng chia hết cho 6 với mọi n thuộc N*.