Để phân số $\frac{2x+4}{x+3}$ là một số nguyên, ta cần phải có $x+3$ là ước của $2x+4$.

Ta có thể viết $2x+4$ dưới dạng $2(x+2)$.

Vậy, ta cần phải có $x+3$ là ước của $2(x+2)$.

Điều này có nghĩa là $x+3$ phải là ước của $2$ hoặc $x+2$.

Nếu $x+3$ là ước của $2$, thì $x+3$ có thể là $1$ hoặc $2$.

Nếu $x+3$ là ước của $x+2$, thì $x+3$ phải chia hết cho $x+2$.

Điều này chỉ xảy ra khi $x+3$ là $1$ hoặc $-1$.

Vậy, các số nguyên $x$ để phân số $\frac{2x+4}{x+3}$ là một số nguyên là $x = -4, -2, -1, -5$.