a) Để đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m, ta cần giải phương trình y = (m+2)x + m với mọi m.

Điều kiện để đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m là phương trình trên phải đúng với mọi giá trị của m.

Đặt y = (m+2)x + m = 0. Ta có:

(m+2)x + m = 0
⇒ x = -m/(m+2)

Vậy, để đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m, ta cần x = -m/(m+2) với mọi m khác -2.

b) Để tìm điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m, ta cần tìm giao điểm của đường thẳng (d) với một đường thẳng khác không phụ thuộc vào m.

Đặt y = ax + b là một đường thẳng khác không phụ thuộc vào m. Ta có:

(m+2)x + m = ax + b
⇒ (m+2-a)x + (m-b) = 0

Để đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m, ta cần (m+2-a)x + (m-b) = 0 với mọi m.

Điều kiện để (m+2-a)x + (m-b) = 0 với mọi m là hệ số của x và hệ số tự do phải bằng 0.

⇒ m+2-a = 0 và m-b = 0
⇒ a = 2 và b = 0

Vậy, điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m là điểm (0, 0).

c) Để (d) cắt trục hoành và trục tung theo thứ tự tại A và B sao cho tam giác ABO có diện tích bằng 0.5, ta cần tìm m sao cho diện tích của tam giác ABO bằng 0.5.

Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm A có tọa độ (x, 0) và cắt trục tung tại điểm B có tọa độ (0, y).

Điểm O có tọa độ (0, 0).

Diện tích của tam giác ABO được tính bằng công thức:

Diện tích = 0.5 * |x * y|

Vì tam giác ABO có diện tích bằng 0.5, ta có:

0.5 = 0.5 * |x * y|
⇒ |x * y| = 1
⇒ x * y = 1 hoặc x * y = -1

Đường thẳng (d) có phương trình y = (m+2)x + m. Thay vào phương trình trên, ta có:

x * ((m+2)x + m) = 1 hoặc x * ((m+2)x + m) = -1

Giải phương trình trên để tìm m.