Để chứng minh rằng 3 đường trung tuyến của tam giác chia thành 6 tam giác bằng nhau, ta sẽ sử dụng hình vẽ và các định lý sau:

1. Định lý đường trung tuyến: Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.

2. Định lý trung điểm: Đường trung tuyến chia cạnh đối diện thành 2 đoạn có độ dài bằng nhau và bằng một nửa độ dài cạnh đối diện.

3. Định lý cạnh đối diện: Hai cạnh đối diện của tam giác là hai cạnh không chứa đỉnh đang xét.

Giả sử tam giác ABC có đỉnh A, B, C và đường trung tuyến của tam giác là DE, FG, và HI. Ta cần chứng minh rằng tam giác ADE, BFG và CHI có diện tích bằng nhau.

Bước 1: Vẽ đường trung tuyến DE từ đỉnh A. Theo định lý đường trung tuyến, DE là đoạn thẳng nối A với trung điểm M của cạnh BC.

Bước 2: Vẽ đường trung tuyến FG từ đỉnh B. Theo định lý đường trung tuyến, FG là đoạn thẳng nối B với trung điểm N của cạnh AC.

Bước 3: Vẽ đường trung tuyến HI từ đỉnh C. Theo định lý đường trung tuyến, HI là đoạn thẳng nối C với trung điểm P của cạnh AB.

Bước 4: Ta cần chứng minh rằng tam giác ADE, BFG và CHI có diện tích bằng nhau.

- Ta có AM = MB (định lý trung điểm) và CM = MC (định lý trung điểm). Do đó, ta có AM = MB = CM = MC.

- Ta có AN = NC (định lý trung điểm) và BN = NA (định lý trung điểm). Do đó, ta có AN = NC = BN = NA.

- Ta có CP = PA (định lý trung điểm) và AP = PB (định lý trung điểm). Do đó, ta có CP = PA = AP = PB.

Bước 5: Ta cần chứng minh rằng tam giác ADE, BFG và CHI có diện tích bằng nhau.

- Ta có AM = MB và AN = NC. Do đó, ta có tam giác AMN và tam giác BNC có diện tích bằng nhau (tam giác có cạnh chung và độ dài cạnh chung bằng nhau).

- Ta có BN = NA và CP = PA. Do đó, ta có tam giác BNA và tam giác CPA có diện tích bằng nhau (tam giác có cạnh chung và độ dài cạnh chung bằng nhau).

- Ta có CM = MC và AP = PB. Do đó, ta có tam giác CMB và tam giác APB có diện tích bằng nhau (tam giác có cạnh chung và độ dài cạnh chung bằng nhau).

Bước 6: Từ các bước trên, ta có thể kết luận rằng tam giác ADE, BFG và CHI có diện tích bằng nhau.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng 3 đường trung tuyến của tam giác chia thành 6 tam giác bằng nhau.