Xét các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a³+b³+c³+d³=a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=a⁵+b⁵+c⁵+d⁵

Để chứng minh a = b = c = d, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử a ≠ b (1)

Vì a, b, c, d là các số thực dương, nên ta có a > b.

Từ (1), ta có a³ > b³ (2)

Vì a³ + b³ + c³ + d³ = a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴, nên ta có:

a⁴ - a³ + b⁴ - b³ + c⁴ + d⁴ - c³ - d³ = 0

a³(a - 1) + b³(b - 1) + c³(c - 1) + d³(d - 1) = 0

Vì a > b, nên a³(a - 1) > b³(b - 1)

Từ đó, ta có:

a³(a - 1) + b³(b - 1) + c³(c - 1) + d³(d - 1) > b³(b - 1) + b³(b - 1) + c³(c - 1) + d³(d - 1)

a³(a - 1) + b³(b - 1) + c³(c - 1) + d³(d - 1) > 2b³(b - 1) + c³(c - 1) + d³(d - 1)

a³(a - 1) + b³(b - 1) + c³(c - 1) + d³(d - 1) > 2b³(b - 1) + 2c³(c - 1) + d³(d - 1)

...

a³(a - 1) + b³(b - 1) + c³(c - 1) + d³(d - 1) > nb³(b - 1) + (n-1)c³(c - 1) + d³(d - 1)

Trong đó, n là số nguyên dương.

Vì a³(a - 1) + b³(b - 1) + c³(c - 1) + d³(d - 1) = 0, nên ta có:

0 > nb³(b - 1) + (n-1)c³(c - 1) + d³(d - 1)

Vì a, b, c, d là các số thực dương, nên a - 1 > 0, b - 1 > 0, c - 1 > 0, d - 1 > 0.

Từ đó, ta có:

0 > nb³(b - 1) + (n-1)c³(c - 1) + d³(d - 1) > 0

Điều này là mâu thuẫn, vì vậy giả sử ban đầu là sai.

Vậy ta kết luận a = b = c = d.