Cho tam giác abc vuông tại a .kẻ đường cao ah

Để chứng minh tứ giác MEFN là hình thang, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác MEFN bằng nhau.

Gọi G là trung điểm của AC.

Ta có:
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AH ⊥ BC.
- Vì AH ⊥ BC và AH // EF nên EF ⊥ BC.
- G là trung điểm của AC nên BG ⊥ AC và CG ⊥ AC.
- Vì BG ⊥ AC và BG // HF nên HF ⊥ AC.
- Vì CG ⊥ AC và CG // HE nên HE ⊥ AC.

Từ đó, ta có EF ⊥ BC, HF ⊥ AC và HE ⊥ AC.

Do đó, tứ giác EFHN là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính EF.

Ta có:
- M là trung điểm của BH nên BM = MH.
- N là trung điểm của CH nên CN = NH.

Vậy BM = MH và CN = NH.

Từ đó, ta có tứ giác MEFN là tứ giác cân (hai cạnh đối nhau bằng nhau) và tứ giác MEFN là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính EF.

Vậy tứ giác MEFN là hình thang.