a) Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AM là đường cao của tam giác vuông ABC tại A. Do đó, góc BAM bằng góc CAM. Mà góc BAM bằng góc EAB (do AB // ME), nên góc EAB bằng góc CAM. Tương tự, ta có góc EBA bằng góc CMA. Vậy, ta có hai góc EAB và EBA bằng hai góc CAM và CMA, nên tam giác EAB đồng dạng với tam giác CMA. Do đó, ta có AM // EB và AB // ME. Từ đó, ta có thể kết luận rằng điểm E đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB.

b) Tứ giác AEMC là hình bình hành. Vì AM // EB và AB // ME (đã chứng minh ở câu a), nên ta có AMEB là hình bình hành. Do đó, ta có góc AEM bằng góc MEB. Nhưng góc MEB bằng góc MAB (do AB // ME), nên góc AEM bằng góc MAB. Vậy, ta có AEMC là hình bình hành.

Tứ giác AEBM là hình chữ nhật. Vì AM // EB và AB // ME (đã chứng minh ở câu a), nên ta có AMEB là hình bình hành. Mà AM = EB (do là đường trung tuyến), nên ta có AMEB là hình chữ nhật. Do đó, ta có AEBM là hình chữ nhật.

c) Ta có AM = EB = 3 cm (do là đường trung tuyến), và AB = 6 cm (do tam giác ABC vuông tại A), nên chu vi của tứ giác AEBM là 2(AM + AB) = 2(3 + 6) = 18 cm.

d) Tứ giác AEBM là hình vuông khi và chỉ khi AM = EB và AB = EM. AM = EB (do là đường trung tuyến), nên ta chỉ cần chứng minh AB = EM. Ta có AB // ME (do đã chứng minh ở câu a), và AB = 6 cm (do tam giác ABC vuông tại A), nên ta chỉ cần chứng minh ME = 6 cm. Ta có ME = 2MD (do E là điểm dối xứng với M qua D), và MD = AD/2 = AB/4 = 6/4 = 3/2 cm. Vậy, ta có ME = 2(3/2) = 3 cm. Do đó, ta có AB = EM và AM = EB, nên tứ giác AEBM là hình vuông.