Để chứng minh đường tròn (I) và (J) tiếp xúc ngoài với nhau, ta cần chứng minh rằng các tiếp tuyến tại các điểm tiếp xúc của (I) và (J) đều song song với nhau.

Đặt E là giao điểm của các tiếp tuyến tại A và B.

Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác ABOE, ta có:

AB * OE + AO * BE = AE * OB

Vì AB = CD và AO = CO, nên ta có:

CD * OE + CO * BE = AE * OB

Tương tự, áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác CDOE, ta có:

CD * OE + CO * DE = CE * OD

So sánh hai phương trình trên, ta thấy AE * OB = CE * OD.

Do đó, tam giác AEO và CEO đồng dạng.

Từ đó, ta có:

    ∠AEO = ∠CEO (cùng nằm trên cung AC của đường tròn (I))

    ∠OEA = ∠OCE (cùng nằm trên cung AE của đường tròn (J))

Vậy, ta có ∠AEO = ∠CEO = ∠OEA = ∠OCE.

Do đó, các tam giác AEO và CEO đồng dạng.

Từ đó, ta có:

    ∠EAO = ∠ECO (do đồng dạng)

    ∠EAO + ∠EAC = ∠ECO + ∠ECO (cùng bằng 180°)

    ∠EAC = ∠ECO + ∠ECO

    ∠EAC = 2∠ECO

Tương tự, ta có:

    ∠ECA = 2∠EAO

Do đó, ∠EAC = ∠ECA.

Vậy, các tiếp tuyến tại các điểm tiếp xúc của (I) và (J) đều song song với nhau.

Vậy, đường tròn (I) và (J) tiếp xúc ngoài với nhau.