Cho(o;r) đường kính AB, tiếp tuyến Ax. M thuộc Ax/OM>R. Kẻ tia Ot vuông góc Om tại O cắt MA tại N. 

a) Ta có:
- Trong tam giác OMA, ta có: OI // AC (do AC // NO) và OM // CB (do OM vuông góc với Ax và CB vuông góc với Ax), nên theo định lí Thales, ta có: OI/AM = OC/AC và OM/AM = OB/CB.
- Trong tam giác OAN, ta có: OI // AC (do AC // NO) và ON // AM (do ON vuông góc với Ax và AM vuông góc với Ax), nên theo định lí Thales, ta có: OI/AN = OC/AC và ON/AN = OM/AM.
Từ đó, ta có: OI/AM = OI/AN = OC/AC và OM/AM = ON/AN = OB/CB.
Vậy, OI.OM = AM.AN.

- Khi AN = R/2, ta có: ON = AN = R/2.
- Ta có: ∠MON = 90° (do Ot vuông góc với Om).
- Ta có: ∠MNO = ∠MON - ∠MON = 90° - ∠MON = 90° - ∠MOA = ∠AOM (do Ax tiếp tuyến với đường tròn (O)).
- Ta có: ∠OMN = ∠MON - ∠MNO = 90° - (90° - ∠MOA) = ∠MOA.
Vậy, các góc của tam giác ∆MON khi AN = R/2 là: ∠MON = 90°, ∠MNO = ∠AOM và ∠OMN = ∠MOA.

b) Ta có: ∠OMN = ∠MOA (vì ∆MON vuông tại O), ∠OMA = ∠MON (vì ∆OMA vuông tại O).
Do đó, ∆OMN và ∆OMA có cặp góc tương đồng, nên theo định lí góc đồng quy, ta có: OM // CB.

c) Ta có: ∠MOC = ∠MON (vì ∆OMC và ∆OMN cùng có cặp góc tương đồng), ∠MCO = ∠MNO (vì ∆OMC và ∆OMN cùng có cặp góc tương đồng).
Do đó, ∆MOC và ∆MON có cặp góc tương đồng, nên theo định lí góc đồng quy, ta có: MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).