Để chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, ta cần chứng minh hai điều sau đây:
1. HE vuông góc với CD.
2. HE đi qua tâm O của đường tròn đường kính CD.

Bước 1: Chứng minh HE vuông góc với CD.
Gọi M là trung điểm của CD. Ta cần chứng minh HE vuông góc với CD tại M.
Vì D là điểm đối xứng của B qua H, nên DH = BH.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC, do đó AH vuông góc với BC.
Vậy tam giác AHB cũng là tam giác vuông tại H.
Do đó, ta có:
∠HAB = ∠HBA = 90°
∠HAD = ∠HAB + ∠BAD = 90° + ∠BAD
Vì ∠BAD = ∠BAC (cùng nằm trên cùng một cung BC), nên ∠HAD = 90° + ∠BAC
Vì ∠HAD + ∠BAC = 180° (tổng các góc trong tam giác), nên ∠HAD + ∠BAC = 90°
Vậy tam giác HAD cũng là tam giác vuông tại H.
Do đó, ta có:
∠HDA = 90°
Vì ∠HDA = ∠HDM (cùng nằm trên cùng một cung HD), nên ∠HDM = 90°
Vậy HE vuông góc với CD tại M.

Bước 2: Chứng minh HE đi qua tâm O của đường tròn đường kính CD.
Gọi O là tâm của đường tròn đường kính CD.
Ta cần chứng minh HE đi qua tâm O.
Vì M là trung điểm của CD, nên OM là đường trung trực của CD.
Vì HE vuông góc với CD tại M, nên HE cũng vuông góc với OM.
Vậy HE đi qua tâm O của đường tròn đường kính CD.

Vậy, từ hai điều trên, ta có thể kết luận rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.