Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành 2 đoạn BH và CH có độ dài lần lượt là 1cm và 3cm. Tính AB, AC, AH. Chứng minh BC = AH

Để giải bài toán này, ta sử dụng các công thức trong tam giác vuông.

1. Tính AB, AC, AH:
- Ta có: BH = 1cm, CH = 3cm.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có: AH là đường cao của tam giác ABC.
- Ta có công thức tính đường cao trong tam giác vuông: AH = √(AB^2 - BH^2) = √(AC^2 - CH^2).
- Từ hai công thức trên, ta có hệ phương trình:
AB^2 - BH^2 = AC^2 - CH^2
AB^2 - 1^2 = AC^2 - 3^2
AB^2 - 1 = AC^2 - 9
AB^2 - AC^2 = -8
(AB + AC)(AB - AC) = -8
- Vì AB và AC đều là độ dài nên không thể có giá trị âm, do đó ta có:
AB + AC = 0 (1)
AB - AC = -8 (2)
- Giải hệ phương trình (1) và (2), ta có:
AB = 4cm
AC = -4cm
- Vì AC không thể có giá trị âm nên ta bỏ qua giá trị này.
- Từ đó, ta có:
AB = 4cm
AC = 4cm
AH = √(AB^2 - BH^2) = √(4^2 - 1^2) = √15 cm

2. Chứng minh BC = AH (dùng TanB + CotB):
- Ta có: Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
TanB = AB/AH = 4/√15
CotB = AH/AB = √15/4
- Ta có công thức: TanB + CotB = BC/AH
- Thay giá trị vào công thức, ta có:
4/√15 + √15/4 = BC/√15
(16 + 15)/4√15 = BC/√15
31/4√15 = BC/√15
BC = 31/4
- Từ đó, ta có:
BC = 31/4
AH = √15 cm

Vậy, AB = 4cm, AC = 4cm, AH = √15 cm và BC = 31/4 cm.