Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao

Để chứng minh tan B / tan C = HC / AB, ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos A

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên cos A = 0, và ta có:
AB^2 = AC^2 + BC^2

Từ đó, ta có:
AB^2 / AC^2 = BC^2 / AC^2 + 1
(tan B)^2 = (tan C)^2 + 1

Đặt x = tan C, ta có:
(tan B)^2 = x^2 + 1
tan B = √(x^2 + 1)

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHC, ta có:
HC^2 = AH^2 + AC^2 - 2 * AH * AC * cos C

Vì tam giác AHC vuông tại A, nên cos C = 0, và ta có:
HC^2 = AH^2 + AC^2

Từ đó, ta có:
(HC / AC)^2 = (AH / AC)^2 + 1
(HC / AC)^2 = (tan C)^2 + 1
(HC / AC)^2 = x^2 + 1

Đặt y = HC / AC, ta có:
y^2 = x^2 + 1
y = √(x^2 + 1)

Vậy, ta có:
tan B = √(x^2 + 1)
tan C = x
HC / AC = √(x^2 + 1)

Vì vậy, ta có:
tan B / tan C = (√(x^2 + 1)) / x = HC / AC

Từ đó, ta đã chứng minh được tan B / tan C = HC / AB.