Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãnx³+y và y³+x đều chia hết cho x²+y²

Để x³ + y chia hết cho x² + y², ta có thể viết x³ + y dưới dạng (x² + y²) * k, với k là một số nguyên dương.

Tương tự, để y³ + x chia hết cho x² + y², ta có thể viết y³ + x dưới dạng (x² + y²) * m, với m là một số nguyên dương.

Từ hai phương trình trên, ta có:
x³ + y = (x² + y²) * k
y³ + x = (x² + y²) * m

Ta có thể giải quyết bài toán bằng cách thử các giá trị x và y từ 1 đến một giới hạn nào đó. Tuy nhiên, để giải quyết bài toán một cách hiệu quả hơn, ta có thể sử dụng một số kỹ thuật toán học.

Ta có thể chứng minh rằng nếu x và y là hai số nguyên dương thỏa mãn x³ + y và y³ + x đều chia hết cho x² + y², thì x và y phải chia hết cho x² + y².

Giả sử x không chia hết cho x² + y². Khi đó, ta có thể viết x dưới dạng x = a * (x² + y²) + b, với a là một số nguyên và 0 < b < x² + y².

Thay x vào phương trình x³ + y = (x² + y²) * k, ta có:
(a * (x² + y²) + b)³ + y = (x² + y²) * k
(a³ * (x² + y²)³ + 3 * a² * b * (x² + y²)² + 3 * a * b² * (x² + y²) + b³) + y = (x² + y²) * k

Ta thấy rằng phần tử b³ + y không chia hết cho x² + y², vì 0 < b³ + y < x² + y². Do đó, phương trình trên không thể đúng.

Tương tự, ta có thể chứng minh rằng nếu y không chia hết cho x² + y², thì phương trình y³ + x = (x² + y²) * m cũng không thể đúng.

Từ đó, ta có kết luận rằng x và y phải chia hết cho x² + y².

Vậy, để tìm các số nguyên dương x và y thỏa mãn x³ + y và y³ + x đều chia hết cho x² + y², ta chỉ cần tìm các ước chung của x² + y² và x³ + y.