Cho tam giác ABC, có M, N là trung điểm của AC và AB. Kéo dài đoạn BM lấy MI = MB, kéo dài CN lấy NC = NK. Chứng minh:

a. Ta có M là trung điểm của AC nên AM = MC. Vì MI = MB nên ta có MI = MB = MC. Do đó tam giác MCI là tam giác đều. Tương tự, ta có tam giác MBI cũng là tam giác đều.

Gọi I' là trung điểm của BC. Ta có MI' = MI = MB, nên tam giác MBI' cũng là tam giác đều.

Do đó, ta có tam giác MCI' và tam giác MBI' là 2 tam giác đều có cạnh chung MI. Vậy, ta có MC = MI' và MB = MI', nên tam giác MCI' và tam giác MBI' là 2 tam giác đồng dạng.

Từ đó, ta có góc MCI' = góc MBI' = góc MBC.

Vì góc MCI' = góc MBC nên góc MCI' + góc MCI = góc MBC + góc MCI.

Suy ra, góc MCI = góc MBC + góc MCI.

Tương tự, ta có góc MBI = góc MCB + góc MBI.

Do đó, góc MCI = góc MBI.

Vậy, ta có tam giác MCI và tam giác MBI là 2 tam giác cân có cạnh chung MI.

Từ đó, ta có AI = CI và AI' = BI'.

Vì tam giác MCI' và tam giác MBI' là 2 tam giác đồng dạng, nên ta có CI' = BI'.

Do đó, ta có AI = CI = CI' = BI' = BI.

Vậy, ta có AI = AK.

b. Ta có AI = AK (đã chứng minh ở câu a).

Gọi P là giao điểm của đường thẳng MN và AI.

Ta có MP || BC (do M là trung điểm của AC nên MP cắt BC tại điểm vô cùng).

Tương tự, ta có NP || BC.

Do đó, ta có MP || NP.

Vì MP || NP và MN là đường chéo của tam giác MNP, nên ta có tam giác MNP là tam giác cân.

Từ đó, ta có góc MNP = góc MPN.

Vì MP || BC nên góc MPN = góc B.

Tương tự, ta có góc NMP = góc C.

Do đó, ta có góc MNP + góc NMP + góc B + góc C = 180 độ.

Từ đó, ta có KAN + NAM + MAI = 180 độ.