Chứng minh 3^(4n+1)+2.5^(2n+2)-21 chia hết cho 64

Để chứng minh 3^(4n+1) + 2.5^(2n+2) - 21 chia hết cho 64, ta cần chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho 64 khi n là số nguyên dương.

Ta sẽ sử dụng định lí Euler để chứng minh. Định lí Euler cho biết: nếu a và m là hai số nguyên tố cùng nhau, thì a^(φ(m)) ≡ 1 (mod m), trong đó φ(m) là hàm số Euler, đếm số nguyên tố cùng nhau với m trong khoảng từ 1 đến m.

Ở đây, ta sẽ sử dụng định lí Euler với a = 3 và m = 64. Ta có:

φ(64) = φ(2^6) = 2^6 - 2^5 = 32.

Do đó, 3^32 ≡ 1 (mod 64).

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng 3^(4n+1) + 2.5^(2n+2) - 21 chia hết cho 8.

Ta biểu diễn 3^(4n+1) + 2.5^(2n+2) - 21 dưới dạng:

3^(4n+1) + 2.5^(2n+2) - 21 = 3.3^(4n) + 2.5^(2n).5^2 - 21.

Ta thấy rằng 3.3^(4n) chia hết cho 8, vì 3.3^(4n) = 3^(4n+1) ≡ 3 (mod 8).

Tương tự, 2.5^(2n).5^2 chia hết cho 8, vì 2.5^(2n).5^2 = 2.5^(2n+2) ≡ 0 (mod 8).

Vì vậy, tổng các số chia hết cho 8, nên biểu thức 3^(4n+1) + 2.5^(2n+2) - 21 chia hết cho 8.

Kết hợp với định lí Euler, ta có:

3^(4n+1) + 2.5^(2n+2) - 21 ≡ 3.1 + 2.1 - 21 ≡ 0 (mod 64).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng biểu thức 3^(4n+1) + 2.5^(2n+2) - 21 chia hết cho 64.