Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi G₁, G₂, G₃ là tâm các hình bình hành ABB'A', ACC'A', BCC'B'. a) Tìm giao tuyến của (G₁G₂G₃) với (BCC'B'). b) Tìm thiết diện của hình lăng trụ tạo bởi (G₁G₂G₃)

a) Để tìm giao tuyến của (G₁G₂G₃) với (BCC'B'), ta cần tìm giao điểm của các cặp đường thẳng trong hai mặt phẳng này.

Gọi M là giao điểm của đường thẳng G₁G₂ với mặt phẳng BCC'B'. Ta cần tìm tọa độ của M.

Vì G₁ là tâm hình bình hành ABB'A', nên ta có:
G₁ = (A + B + B' + A')/4

Tương tự, G₂ = (A + C + C' + A')/4

Đường thẳng G₁G₂ có phương trình:
x = A[1] + t(A[2] - A[1])
y = B[1] + t(B[2] - B[1])
z = B'[1] + t(B'[2] - B'[1])

Thay G₁ và G₂ vào phương trình đường thẳng G₁G₂, ta có:
x = (A[1] + t(A[2] - A[1]))/4 + (A[1] + t(A[2] - A[1]))/4
y = (B[1] + t(B[2] - B[1]))/4 + (C[1] + t(C[2] - C[1]))/4
z = (B'[1] + t(B'[2] - B'[1]))/4 + (C'[1] + t(C'[2] - C'[1]))/4

Tương tự, đường thẳng G₁G₃ có phương trình:
x = (A[1] + t(A[2] - A[1]))/4 + (C[1] + t(C[2] - C[1]))/4
y = (B[1] + t(B[2] - B[1]))/4 + (C'[1] + t(C'[2] - C'[1]))/4
z = (B'[1] + t(B'[2] - B'[1]))/4 + (A'[1] + t(A'[2] - A'[1]))/4

Giao điểm của đường thẳng G₁G₂ và G₁G₃ là tọa độ của M.

Tương tự, ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng G₂G₃ với mặt phẳng BCC'B'.

Sau khi tìm được các giao điểm, ta có thể tìm phương trình đường thẳng đi qua các điểm này để tìm giao tuyến của (G₁G₂G₃) với (BCC'B').

b) Để tìm thiết diện của hình lăng trụ tạo bởi (G₁G₂G₃), ta cần tìm các đường thẳng đi qua các cạnh của hình lăng trụ và tính giao điểm của chúng.

Gọi H là giao điểm của đường thẳng G₁G₂ với mặt phẳng ABC. Ta cần tìm tọa độ của H.

Vì G₁ là tâm hình bình hành ABB'A', nên ta có:
G₁ = (A + B + B' + A')/4

Tương tự, G₂ = (A + C + C' + A')/4

Đường thẳng G₁G₂ có phương trình:
x = A[1] + t(A[2] - A[1])
y = B[1] + t(B[2] - B[1])
z = B'[1] + t(B'[2] - B'[1])

Thay G₁ và G₂ vào phương trình đường thẳng G₁G₂, ta có:
x = (A[1] + t(A[2] - A[1]))/4 + (A[1] + t(A[2] - A[1]))/4
y = (B[1] + t(B[2] - B[1]))/4 + (C[1] + t(C[2] - C[1]))/4
z = (B'[1] + t(B'[2] - B'[1]))/4 + (C'[1] + t(C'[2] - C'[1]))/4

Tương tự, đường thẳng G₁G₃ có phương trình:
x = (A[1] + t(A[2] - A[1]))/4 + (C[1] + t(C[2] - C[1]))/4
y = (B[1] + t(B[2] - B[1]))/4 + (C'[1] + t(C'[2] - C'[1]))/4
z = (B'[1] + t(B'[2] - B'[1]))/4 + (A'[1] + t(A'[2] - A'[1]))/4

Giao điểm của đường thẳng G₁G₂ và G₁G₃ là tọa độ của H.

Tương tự, ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng G₂G₃ với mặt phẳng ABC.

Sau khi tìm được các giao điểm, ta có thể tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm này để tìm thiết diện của hình lăng trụ tạo bởi (G₁G₂G₃).