Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc, gọi M N P Q lần lượt là trung điểm của AB BC CD DA

Để chứng minh M N P Q cùng nằm trên 1 đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của tứ giác điều hòa.

Đầu tiên, ta có tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Ta có:

- Đường chéo AC là đường phân giác của góc BAD, nên AM = MC.
- Đường chéo BD là đường phân giác của góc ABC, nên BN = ND.

Do đó, ta có AM = MC = BN = ND.

Tiếp theo, ta chứng minh tứ giác MNPQ là tứ giác điều hòa.

- Ta có MN là đường phân giác của góc BAC, nên AM/AB = CM/BC.
- Ta có NP là đường phân giác của góc BCD, nên BN/BC = DN/CD.

Do AM = MC và BN = ND, nên ta có:

AM/AB = CM/BC = BN/BC = DN/CD.

Vậy tứ giác MNPQ là tứ giác điều hòa.

Theo tính chất của tứ giác điều hòa, ta biết rằng các điểm M, N, P, Q cùng nằm trên 1 đường tròn nếu và chỉ nếu tứ giác MNPQ là tứ giác điều hòa.

Vậy ta đã chứng minh được rằng M, N, P, Q cùng nằm trên 1 đường tròn.