Để đa thức \(x^3 + x^2 - x + a\) chia hết cho \(x + 2\), ta cần tìm giá trị của \(a\) sao cho \(x + 2\) là một ước của đa thức.

Áp dụng định lý chia đa thức, ta có:
\[x^3 + x^2 - x + a = (x + 2)(x^2 + bx + c) + d\]
Trong đó, \(x^2 + bx + c\) là đa thức dư, và \(d\) là hệ số tự do của đa thức dư.

Để đa thức dư bằng 0, ta có:
\[x^2 + bx + c = 0\]
Với \(x = -2\), ta có:
\[(-2)^2 + b(-2) + c = 0 \Rightarrow 4 - 2b + c = 0\]

Để đa thức \(x^3 + x^2 - x + a\) chia hết cho \(x + 2\), ta cần \(d = 0\). Từ đó, ta có:
\[d = -2^3 - 2^2 - (-2) + a = -8 - 4 + 2 + a = -10 + a\]

Vậy, để đa thức \(x^3 + x^2 - x + a\) chia hết cho \(x + 2\), ta cần \(d = -10 + a = 0\). Từ đó, ta tìm được giá trị của \(a\):
\[-10 + a = 0 \Rightarrow a = 10\]

Vậy, giá trị của \(a\) để đa thức \(x^3 + x^2 - x + a\) chia hết cho \(x + 2\) là \(a = 10\).