Ta có tam giác ABC vuông tại A, do đó đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Vì vậy, ta có AH = HC và AO = OC.

Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. Ta có ME = MF (vì E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC) và MO = NO (vì O là trung điểm của HC).

Ta cần chứng minh EF vuông góc với FO. Điều này tương đương với việc chứng minh tam giác EOF vuông tại O.

Ta có:
- Tam giác MEO và NFO là tam giác đồng dạng (có cạnh chung MO và NO, góc EOM = FON = 90 độ).
- MO = NO (vì O là trung điểm của HC).
- ME = MF (vì E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC).

Do đó, tam giác MEO và NFO là hai tam giác đồng dạng hoàn toàn. Vì vậy, góc EOF = góc EOM + góc FON = 90 độ + 90 độ = 180 độ.

Vậy ta kết luận rằng EF vuông góc với FO.