A. Để chứng minh MNPQ là hình thang, ta cần chứng minh các cạnh đối diện của tứ giác MNPQ là song song.

Gọi E là giao điểm của MP và NQ. Ta có:

- Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB.
- Vì N là trung điểm của AC nên AN = NC.
- Vì P là trung điểm của CD nên CP = PD.
- Vì Q là trung điểm của BD nên BQ = QD.

Do đó, ta có:

AM = MB
AN = NC
CP = PD
BQ = QD

Ta cũng có:

∠MAN = ∠MAB + ∠BAN = ∠MAB + ∠CAN = ∠MAC = ∠MNC
∠MCP = ∠MCD + ∠DCP = ∠MCD + ∠BCD = ∠BCD = ∠BQD

Vậy ta có:

∠MAN = ∠MNC
∠MCP = ∠BQD

Do đó, ta có MP//NQ và CP//BQ.

Tương tự, ta cũng có ME//ND và NE//MD.

Vậy ta có MP//NQ và ME//ND, suy ra MPNE là hình thang.

Tương tự, ta cũng có MN//PQ và NE//MD, suy ra MNQE là hình thang.

Vậy ta có MNPQ là hình thang.

B. Nếu ABCD là hình thang cân, tứ giác MNPQ là tứ giác cân.

Vì ABCD là hình thang cân nên AB = CD và AD = BC.

Ta có:

AM = MB (vì M là trung điểm của AB)
CP = PD (vì P là trung điểm của CD)

Vậy ta có AM = MB và CP = PD.

Do đó, tứ giác MNPQ có hai cạnh đối diện bằng nhau, suy ra MNPQ là tứ giác cân.