Cho hình bình hành ABCD có BC = 2.AB và góc A = 60 độ. Gọi E; F theo thứ tự là trung điểm của BC và AD

Để chứng minh AE vuông góc BF, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành ABCD.

Vì BC = 2AB và góc A bằng 60 độ, ta có thể suy ra góc ABC bằng 120 độ (do tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180 độ).

Vì E là trung điểm của BC, ta có BE = EC. Tương tự, F là trung điểm của AD, ta có AF = FD.

Do đó, ta có tam giác ABE và tam giác DCF là tam giác đều (vì cạnh bằng nhau và góc bằng 60 độ).

Vì AE song song với BC và BF là đường chéo của hình bình hành ABCD, nên AE vuông góc với BF.

B từ giác ECDF là hình bình hành.

Vì EC = BE và FD = AF, nên các cạnh của hình bình hành ECDF bằng nhau.

Vì góc ECF = góc EDF = 60 độ (do tam giác ABE và tam giác DCF là tam giác đều), nên góc ECF = góc EDF = 120 độ.

Vì tổng các góc trong hình bình hành ECDF bằng 360 độ, nên góc ECF + góc EDF = 120 độ + 120 độ = 240 độ.

Vậy góc ECF + góc EDF không bằng 180 độ, nên hình bình hành ECDF không phải là hình chữ nhật.

C từ giác ABED là hình chữ nhật.

Vì AB = ED và AD = BE, nên các cạnh của hình chữ nhật ABED bằng nhau.

Vì góc ABE = góc EDA = 90 độ (do ABED là hình chữ nhật), nên góc ABE + góc EDA = 90 độ + 90 độ = 180 độ.

Vậy góc ABE + góc EDA bằng 180 độ, nên hình chữ nhật ABED là hình chữ nhật.

D chứng minh BMCD là hình chữ nhật.

Gọi M là điểm đối xứng của A qua B.

Vì A là trung điểm của BM (do E là trung điểm của BC), nên AM song song với BC.

Vì BM = AM và CD = BC, nên BM = CD.

Vì BM song song với CD và BM = CD, nên BMCD là hình chữ nhật.

E chứng minh MED thẳng hàng.

Vì M là điểm đối xứng của A qua B, nên AM = MB.

Vì E là trung điểm của BC, nên BE = EC.

Vì BM = AM và BE = EC, nên tam giác BME và tam giác CME là tam giác cân.

Vì góc BME = góc CME (do cạnh bằng nhau), nên tam giác BME và tam giác CME là tam giác đều.

Vì tam giác BME và tam giác CME là tam giác đều, nên góc MBE = góc MCE = 60 độ.

Vì góc MBE + góc MCE = 60 độ + 60 độ = 120 độ, nên góc MBE + góc MCE không bằng 180 độ.

Vậy M, E, D thẳng hàng.