Cho tam giác ABC (AB

Ta có tam giác ABC có trung tuyến AD, do đó AD là đường cao của tam giác ABC. Mà phân giác AE cắt đường cao AD tại trung điểm D, nên ta có AD là đường trung trực của cạnh BC.

Khi đó, ta có tứ giác ABDC là hình chữ nhật, vì AD là đường trung trực của BC và AB = CD (do AD là trung tuyến).

Gọi M là trung điểm của GE. Ta cần chứng minh DF đi qua trung điểm M.

Áp dụng định lí Thales, ta có:
$\frac{AG}{GD} = \frac{AF}{FC}$
Vì tứ giác ABDC là hình chữ nhật, nên AG = CD và GD = AB. Do đó, ta có:
$\frac{CD}{AB} = \frac{AF}{FC}$
$\frac{CD}{AF} = \frac{AB}{FC}$
Vì $\angle CDF = \angle CAF$ (do CF vuông góc với AE), nên ta có hai tam giác CDF và CAF đồng dạng. Do đó:
$\frac{CD}{AF} = \frac{DF}{FC}$
Từ hai phương trình trên, ta có:
$\frac{DF}{FC} = \frac{AB}{FC}$
$DF = AB$
Vậy DF là đoạn thẳng cắt trung điểm M của GE.