Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Kẻ AH vuông góc với BM tại H. Chứng minh: BH = 4HM, góc AHC = 135 độ

Để chứng minh BH = 4HM và góc AHC = 135 độ, ta sẽ sử dụng các định lí trong tam giác vuông và tam giác đều.

Gọi G là trung điểm của AC. Ta có BG là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên BG = GM.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên góc BAC = 45 độ. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAG = 90 - góc BAC = 90 - 45 = 45 độ.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên góc ABC = góc BAC = 45 độ. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BCA = 90 - góc BAC = 90 - 45 = 45 độ.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên góc BAG = góc BCA = 45 độ. Vì BG = GM, nên tam giác BGM là tam giác đều.

Vì tam giác BGM là tam giác đều, nên góc GBM = 60 độ. Vì góc BAG = 45 độ, nên góc BAM = 60 - 45 = 15 độ.

Vì góc BAM = 15 độ, nên góc BAH = 90 - góc BAM = 90 - 15 = 75 độ.

Vì góc BAH = 75 độ, nên góc BHA = 180 - góc BAH = 180 - 75 = 105 độ.

Vì góc BHA = 105 độ, nên góc AHM = 180 - góc BHA = 180 - 105 = 75 độ.

Vì góc AHM = 75 độ, nên góc HAM = 180 - góc AHM = 180 - 75 = 105 độ.

Vì góc HAM = 105 độ, nên góc HMA = 180 - góc HAM = 180 - 105 = 75 độ.

Vậy ta có góc HMA = góc HAM = 75 độ, nên tam giác HMA là tam giác cân tại H.

Vì tam giác HMA là tam giác cân tại H, nên HM = HA.

Vì tam giác HMA là tam giác cân tại H, nên góc HMA = góc HAM = 75 độ.

Vì góc HMA = 75 độ, nên góc HMB = 180 - góc HMA = 180 - 75 = 105 độ.

Vì góc HMB = 105 độ, nên góc BHM = 180 - góc HMB = 180 - 105 = 75 độ.

Vậy ta có góc BHM = góc HBM = 75 độ, nên tam giác BHM là tam giác cân tại H.

Vì tam giác BHM là tam giác cân tại H, nên BH = HM.

Vậy ta đã chứng minh BH = 4HM và góc AHC = 135 độ.