Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức, ta cần tìm điểm cực trị của hàm số.

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức b, N = y^2 - y - 3, ta cần tìm điểm cực trị của hàm số này. Để làm điều này, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

Đạo hàm của N theo y là: N' = 2y - 1.

Giải phương trình N' = 0:
2y - 1 = 0
y = 1/2.

Để xác định xem điểm y = 1/2 là điểm cực trị nhỏ nhất hay lớn nhất, ta có thể xem xét dấu của đạo hàm thứ hai của N tại điểm này.

Đạo hàm thứ hai của N theo y là: N'' = 2.

Vì N'' > 0, nên điểm y = 1/2 là điểm cực trị nhỏ nhất của hàm số N.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức b, N = y^2 - y - 3, là N = (1/2)^2 - (1/2) - 3 = -2.75.

b) Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức c, P = x^2 + y^2 - 4x + y + 7, ta cần tìm điểm cực trị của hàm số này. Để làm điều này, ta sẽ tính đạo hàm riêng theo x và y của hàm số và giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0.

Đạo hàm riêng của P theo x là: P'x = 2x - 4.

Đạo hàm riêng của P theo y là: P'y = 2y + 1.

Giải hệ phương trình P'x = 0 và P'y = 0:
2x - 4 = 0
x = 2.

2y + 1 = 0
y = -1/2.

Để xác định xem điểm (x, y) = (2, -1/2) là điểm cực trị nhỏ nhất hay lớn nhất, ta có thể xem xét dấu của đạo hàm thứ hai của P tại điểm này.

Đạo hàm thứ hai của P theo x là: P''xx = 2.

Đạo hàm thứ hai của P theo y là: P''yy = 2.

Đạo hàm thứ hai của P theo x và y là: P''xy = 0.

Đạo hàm thứ hai của P theo y và x là: P''yx = 0.

Vì P''xx > 0 và P''yy > 0, và đạo hàm thứ hai của P không phụ thuộc vào x và y, nên điểm (x, y) = (2, -1/2) là điểm cực trị nhỏ nhất của hàm số P.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức c, P = x^2 + y^2 - 4x + y + 7, là P = 2^2 + (-1/2)^2 - 4(2) + (-1/2) + 7 = 3.25.