Cho tam giác nhọn ABC đường cao AH, HC = 2HB

Ta có tam giác ABC là tam giác nhọn, nên đường cao AH cắt BC tại H nằm trong đoạn BC.

Giả sử HC = 2HB, ta có:
HB + HC = 3HB = BC
Vậy HC = 2HB = BC/3.

Gọi E là giao điểm của đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C. Ta có:
EB ⊥ AB và EC ⊥ AC.

Do đó, tam giác EBC là tam giác vuông tại B và C.

Vì EB ⊥ AB và EC ⊥ AC, nên EB || AC và EC || AB.
Do đó, tam giác EBC là tam giác đồng quy với tam giác ABC.

Theo định lí đồng quy, ta có: AD là đường đồng quy của tam giác ABC.

Vậy, D nằm trên đường cao AH của tam giác ABC.

Ta có: DH ⊥ AB và DC ⊥ AC.

Vì DH ⊥ AB và EC ⊥ AC, nên DH || EC.
Do đó, tam giác DHC là tam giác đồng quy với tam giác EBC.

Theo định lí đồng quy, ta có: DH là đường đồng quy của tam giác EBC.

Vậy, D nằm trên đường cao HC của tam giác EBC.

Vì D nằm trên đường cao HC của tam giác EBC và HC = 2HB, nên D nằm giữa H và C.

Vậy, DH = DC.