Chứng minh tứ giác ABCM là hình thoi

A) Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó đường cao AD cắt BC tại trung điểm M của BC. Vì O là trung điểm của AC, nên OM song song với AD và có độ dài bằng một nửa độ dài AD.

Lấy điểm M đối xứng với điểm B qua đường thẳng AC, ta được điểm M'. Khi đó, ta có BM' = BM và AM' = AM.

Vì BM' = BM và AM' = AM, nên tam giác ABM' và ABM là hai tam giác đồng dạng.

Do đó, góc AM'B = góc AMB và góc ABM' = góc ABM.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc ABM = góc MBC.

Từ đó, ta có góc AM'B = góc MBC.

Vậy tứ giác ABM'C là hình thoi.

B) Gọi d là trung điểm của ON. Ta có OM // AD và ON // AD (vì O và N đối xứng qua AC).

Do đó, OM // ON.

Vì d là trung điểm của AB và cũng là trung điểm của ON, nên d cũng là trung điểm của AM.

Từ đó, ta có AD // BM và AD // ON.

Vậy tam giác ANB và ANO là hai tam giác vuông và bằng nhau.

C) Ta đã chứng minh ở câu A rằng tứ giác ABM'C là hình thoi.

Vì d là trung điểm của AB và cũng là trung điểm của ON, nên d cũng là trung điểm của OM'.

Từ đó, ta có OM' // BD và OM' = BD.

Vậy tứ giác OEBD là hình thoi.