A) Ta có:
- Vì tam giác AMK vuông tại M nên theo định lý Pythagoras, ta có: AM^2 = AK^2 + MK^2
- Vì tam giác AMK vuông tại M nên theo định lý Pythagoras, ta có: MH^2 = MK^2 + HK^2
- Vì tam giác AMH vuông tại H nên theo định lý Pythagoras, ta có: AH^2 = AM^2 + MH^2

Thay các giá trị đã biết vào các công thức trên, ta có:
- AM^2 = AK^2 + MK^2 = 6^2 + MK^2
- MH^2 = MK^2 + HK^2 = MK^2 + 9^2
- AH^2 = AM^2 + MH^2 = (6^2 + MK^2) + (MK^2 + 9^2)

Vì AH = 6cm, HK = 9cm, nên ta có:
36 = 36 + 2MK^2 + 81
2MK^2 = -81
MK^2 = -40.5

Vì MK là độ dài một cạnh của tam giác, nên không thể có giá trị âm. Vậy không tồn tại tam giác AMK thỏa mãn các điều kiện đã cho.

B) Vì không tồn tại tam giác AMK thỏa mãn các điều kiện đã cho, nên không thể chứng minh góc HMK = góc HAM.

C) Gọi D là trung điểm của MK. Ta có:
- Vì D là trung điểm của MK nên MD = DK.
- Vì MH vuông góc với AK nên MH cắt AK tại I sao cho AI = IK.
- Vì AI = IK và MD = DK nên tam giác AMI và tam giác KDI đồng dạng.
- Vì tam giác AMI và tam giác KDI đồng dạng nên góc AMI = góc KDI.

Kẻ QF vuông góc với HK tại F. Ta có:
- Vì HK vuông góc với MH nên HK cắt MH tại J sao cho HJ = JK.
- Vì HJ = JK và MH = HK nên tam giác HJM và tam giác KJF đồng dạng.
- Vì tam giác HJM và tam giác KJF đồng dạng nên góc HJM = góc KJF.

Vì góc AMI = góc KDI và góc HJM = góc KJF, nên ta có:
góc HMK = góc AMI + góc HJM = góc KDI + góc KJF = góc HAM

Vậy góc HMK = góc HAM.