a) Ta cần chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB. Vì N là trung điểm của CD, nên CN = ND. Ta có: AM = MB (do M là trung điểm của AB) CN = ND (do N là trung điểm của CD) Vì AD || BC (do ABCD là hình bình hành), nên ta có: ∠AMD = ∠BMC (cùng là góc ở tương ứng) ∠CND = ∠AND (cùng là góc ở tương ứng) Vì ∠AMD = ∠BMC và ∠CND = ∠AND, nên ta có: ∠AMC = ∠BMD (cùng là góc đối diện với góc ∠AMD) ∠ANC = ∠BND (cùng là góc đối diện với góc ∠CND) Vậy tứ giác AMCN là hình bình hành. b) Ta cần chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng và BI = 3FI. Vì M là trung điểm của AB, nên ta có: AM = MB AM + MB = 2AM = AB Vì N là trung điểm của CD, nên ta có: CN = ND CN + ND = 2CN = CD Vì E là giao điểm của BD và CM, nên ta có: ∠BEC = ∠CED (cùng là góc ở tương ứng) ∠BCE = ∠CDE (cùng là góc ở tương ứng) Vậy ta có hai tam giác BCE và CDE là hai tam giác cân. Vì BCE là tam giác cân, nên ta có: BE = CE Vì CDE là tam giác cân, nên ta có: CE = DE Từ hai biểu thức trên, ta suy ra: BE = DE Vậy ta có: BI = BE + EI = DE + EI = DI Vì BI = DI, nên ta có: ∠BID = ∠DIB Vì ∠BID = ∠DIB, nên ta có: ∠BIM = ∠DIM Vậy ta có: ∠BIM = ∠DIM và ∠BIN = ∠DIN Vì ∠BIM = ∠DIM và ∠BIN = ∠DIN, nên ta có: ∠MIN = ∠MNI Vậy ta có: ∠MIN = ∠MNI và ∠MNI = ∠NMI Vì ∠MIN = ∠MNI và ∠MNI = ∠NMI, nên ta có: ∠MIN = ∠NMI Vậy ta có: ∠MIN = ∠NMI và ∠MIN + ∠NMI = 180° Vậy ba điểm M, N, I thẳng hàng và BI = 3FI.
a) Ta có: - M là trung điểm của AB, nên AM = MB. - N là trung điểm của CD, nên CN = ND. - Đường chéo BD cắt CM tại E, nên ta có tỉ số CM/ME = BD/BE theo định lí Menelaus. - Từ AM = MB và CN = ND, suy ra tỉ số AM/MB = CN/ND. - Kết hợp với tỉ số CM/ME = BD/BE, ta có tỉ số AM/MB = CM/ME = CN/ND = 1/2. - Vậy, ta có AM = CN và MB = ND. - Từ đó, ta có AMCN là hình bình hành. b) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta cần chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng và BI = 3IF. - Ta có tỉ số AM/MB = CN/ND = 1/2 (đã chứng minh ở câu a). - Vì AM = CN và MB = ND, suy ra AM = CN = MB = ND. - Khi đó, ta có tứ giác AMCN là hình bình hành cân, nên ta có đường chéo BD chia MN thành hai đoạn bằng nhau. - Gọi F là trung điểm của MN. Ta có MF = NF. - Vì tứ giác AMCN là hình bình hành, nên đường chéo BD là trục đối xứng của AC. - Do đó, ta có BI = IF. - Từ đó, ta có ba điểm M, N, I thẳng hàng và BI = 3IF. Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b).
A hihi....  mới lớp 6 thôi nha không biết gì hết à!.....   :>>