Để chứng minh BN + CM = BC, ta sẽ sử dụng định lí phân giác trong tam giác.

Gọi I là giao điểm của tia phân giác của góc B và góc C.

Theo định lí phân giác, ta có:

$\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}$ (1)

Vì góc A = 60 độ, nên tam giác ABC là tam giác đều. Do đó, ta có AB = AC.

Khi đó, (1) trở thành: $\frac{BM}{MC} = 1$

Từ đó, ta có BM = MC.

Gọi P là giao điểm của tia phân giác của góc A và BC.

Theo định lí phân giác, ta có:

$\frac{BN}{NA} = \frac{BC}{AC}$ (2)

Vì góc A = 60 độ, nên tam giác ABC là tam giác đều. Do đó, ta có BC = AC.

Khi đó, (2) trở thành: $\frac{BN}{NA} = 1$

Từ đó, ta có BN = NA.

Từ BM = MC và BN = NA, ta có BN + CM = NA + MC = NC.

Vì BN + CM = NC, và BN + CM = BC, nên ta có BC = NC.

Vậy, ta đã chứng minh được BN + CM = BC.