Cho tam giác ABC cân tại A D là một điểm trên BC sao cho DB > DC .Từ D vẽ đường vuông góc với BC cắt đường thẳng AC và AB lần lượt tại M và N vẽ hình chữ nhật CDMP và BDNQ .Gọi I và K lần lượt là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật BDNQ và CDMP chứng minh rằng A là trung điểm PQ 

Để chứng minh A là trung điểm của PQ, ta cần chứng minh rằng AI = AK.

Ta có:
- Tam giác ABC cân tại A, nên đường cao AD cũng là đường trung tuyến. Do đó, BD = DC.
- Hình chữ nhật BDNQ có đường chéo BN, nên BN là đường phân giác của góc BND. Tương tự, CM là đường phân giác của góc CDM.
- Gọi x = ∠BND = ∠CDM. Khi đó, ∠BNQ = ∠DMC = 90° - x.
- Vì BN = DQ (hình chữ nhật), nên tam giác BNQ cân tại N. Tương tự, tam giác CDM cân tại M.
- Do đó, ∠BNQ = ∠BQN = 90° - x và ∠CDM = ∠CMD = 90° - x.
- Ta có ∠BNC = 180° - 2x và ∠CMD = 180° - 2x.
- Vì BN = DQ, nên tam giác BDN cân tại D. Tương tự, tam giác CDM cân tại D.
- Do đó, ∠BDN = ∠BND = x và ∠CDM = ∠CMD = x.
- Vậy, tam giác BNC và tam giác CMD là tam giác cân.
- Gọi I là giao điểm của BD và CM. Khi đó, AI là đường phân giác của góc BAC.
- Tương tự, gọi K là giao điểm của BD và CN. Khi đó, AK là đường phân giác của góc BAC.
- Vậy, AI = AK.
- Từ đó, ta có A là trung điểm của PQ (do AI = AK).

Vậy, A là trung điểm của PQ.