a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH là đường cao của tam giác ABC và cũng là đường trung tuyến của tam giác ABH.
Vì HD = 4HB, nên ta có HB = 1/4HD.
Theo định lý Pythagoras, ta có:
AB² = AH² + HB²
5² = AH² + (1/4HD)²
25 = AH² + (1/4)².4²
25 = AH² + 1
AH² = 24
AH = √24 = 2√6 cm

Vì AH là đường trung tuyến của tam giác ABH, nên AH = 1/2BH
2√6 = 1/2BH
BH = 4√6 cm

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH = HC
HC = 2√6 cm

Vậy độ dài các đoạn thẳng là:
AH = 2√6 cm
AC = HC = 2√6 cm
CB = HB = 4√6 cm

b) Ta có:
AB.AE = AC.AF
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AB² = AH² + HB²
AB² = (2√6)² + (4√6)²
AB² = 24 + 96
AB² = 120
AB = √120 = 2√30 cm

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AC² = AH² + HC²
AC² = (2√6)² + (2√6)²
AC² = 24 + 24
AC² = 48
AC = √48 = 4√3 cm

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AE = AB - BE
AE = 2√30 - 5 cm

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AF = AC - CF
AF = 4√3 - 5 cm

Vậy ta có:
AB.AE = (2√30)(2√30 - 5) = 120 - 50√30
AC.AF = (4√3)(4√3 - 5) = 48 - 40√3

Ta có:
120 - 50√30 = 48 - 40√3
72 = 10√3 - 10√30
72 + 10√30 = 10√3
√30 = (72 + 10√30)/10
√30 = 7.2 + √30
0 = 7.2

Phương trình vô lý, không có nghiệm.

Vậy ta chứng minh được rằng AB.AE ≠ AC.AF.