Trong tam giác vuông ���ABC vuông tại �A, đường cao ��AH cắt ��BC tại �D. Gọi �M là trung điểm của ��BC, �I là giao điểm của ��BM và ��AC, �H là đỉnh vuông góc của tam giác ���ABC. Chúng ta sẽ giải bài toán để tìm mối quan hệ giữa các đại lượng đã cho.

Ta có một số thông tin đã biết:

1. ��BD là đường cao của tam giác ���ABC, do đó ∠���=90∘∠ADB=90∘.
2. �M là trung điểm của ��BC, nên ��=��BM=MC.
3. ��AH là đường cao, nên ∠���=∠���=90∘∠BAH=∠CAH=90∘.

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng các thông tin trên để tìm mối quan hệ giữa ��IH, ��CD, cos⁡2�cos2D, và sin⁡�sinD.

Để bắt đầu, ta cần tìm mối quan hệ giữa ��IH và ��CD. Vì �I là trung điểm của ��AC, nên ta có ��=��AI=IC. Khi đó, tam giác ���ADH và ���IDC là đồng dạng (do góc ���DAH và ���IDC bằng nhau và hai góc vuông). Vậy ta có: ����=����CDIH​=ADAH​

Ta cần tìm mối quan hệ giữa ��AH và ��AD. Vì ��BD là đường cao, ta có ��=��AH=BD.

Do tam giác ���ABD vuông tại �D, ta có thể sử dụng các hệ số góc: cos⁡�=����vaˋsin⁡�=����cosD=ABAD​vaˋsinD=ABBD​

Nhưng vì ��=��AB=AC, nên ta có ��=��=2⋅��AB=AC=2⋅AM. Vì vậy: cos⁡�=��2⋅��vaˋsin⁡�=��2⋅��cosD=2⋅AMAD​vaˋsinD=2⋅AMBD​

Để tìm mối quan hệ giữa ��IH, ��CD, cos⁡2�cos2D, và sin⁡�sinD, ta cần biểu diễn ��IH và ��CD dựa trên cos⁡�cosD và sin⁡�sinD.

Từ đồng dạng của ���ADH và ���IDC, ta có: ����=����=����CDIH​=ADAH​=ADBD​

Nhưng ��=cos⁡�⋅��BD=cosD⋅AB và ��=sin⁡�⋅��AD=sinD⋅AB, vậy: ����=cos⁡�⋅��sin⁡�⋅��=cos⁡�sin⁡�CDIH​=sinD⋅ABcosD⋅AB​=sinDcosD​

Giải phương trình này, ta có: ��=��⋅cos⁡�sin⁡�=��⋅cot⁡�IH=CD⋅sinDcosD​=CD⋅cotD

Để biểu diễn ��IH dựa trên cos⁡2�cos2D và sin⁡�sinD, ta biết rằng: cos⁡2�=2cos⁡2�−1=2(��2⋅��)2−1cos2D=2cos2D−1=2(2⋅AMAD​)2−1 sin⁡2�=2sin⁡�cos⁡�=2(��2⋅��)(��2⋅��)sin2D=2sinDcosD=2(2⋅AMBD​)(2⋅AMAD​)

Nhưng ta cũng biết rằng ��=��2=��2cos⁡�AM=2AB​=2cosDAD​, vậy: cos⁡2�=2(��2⋅��2cos⁡�)2−1=2(12cos⁡�)2−1=1cos⁡2�−1cos2D=2(2⋅2cosDAD​AD​)2−1=2(2cosD1​)2−1=cos2D1​−1

Suy ra: cot⁡�=1+cos⁡2�2cotD=21+cos2D​​

Như vậy, ��=��⋅1+cos⁡2�2IH=CD⋅21+cos2D​​

Đây là mối quan hệ giữa ��IH, ��CD, cos⁡2�cos2D, và sin⁡�sinD.